Множество в аффинном пространстве называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя точками соединяющий их отрезок.

Определения

Пусть  — аффинное пространство (над полем вещественных чисел ).

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка , соединяющего в пространстве точки и . Этот отрезок можно представить как

Связанные определения

Множество векторного пространства называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.

Примеры

• Выпуклые подмножества множества (множество вещественных чисел) представляют собой интервалы из .
• Примерами выпуклых подмножеств в двумерном Евклидовом пространстве () являются правильные многоугольники.
• Примерами выпуклых подмножеств в трехмерном Евклидовом пространстве () являются Архимедовы тела и правильные многогранники.
• Тела Кепплера — Пуансо (правильные звездообразные многогранники) являются примерами невыпуклых множеств.

Свойства

• Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
• В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
• Пусть  — выпуклое множество. Тогда для любых элементов принадлежащих и для всех неотрицательных , таких что , вектор

принадлежит .

• Вектор называется выпуклой комбинацией элементов .

• Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество линейного пространства содержится внутри малого выпуклого множества (называемого выпуклой оболочкой множества ), то есть пересечение всех выпуклых множеств содержит .
• Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, то есть что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества и точки , не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство , содержащее и не содержащее . Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана — Банаха из функционального анализа.
• Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств , пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
• Любое выпуклое множество единичной площади в можно целиком заключить в некоторый треугольник площади 2.^[1]

Вариации и обобщения

• Без каких либо изменений определение работает для афинных пространств над произвольным расширением поля вещественных чисел.

См. также

• Звёздная область
• Выпуклая функция

Литература

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Тиморин В. А. Комбинаторика выпуклых многогранников. — М.: МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0.

Ссылки

1. Triangle Circumscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.