Средние Колмогорова или средние по Колмогорову для действительных чисел — это величины вида

где — непрерывная строго монотонная функция, а — функция, обратная к . При этом выбор определённых функций даёт различные классические средние:

• при — среднее арифметическое;
• при — среднее геометрическое;
• при — среднее гармоническое;
• при — среднее квадратическое;
• при — среднее степенное.

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал,^[1] что любая средняя величина имеет вид , если она обладает свойствами:

• непрерывности,
• монотонности по каждому ,
• симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
• среднее от набора равных чисел равно их значению,
• замена любой группы чисел в наборе их средним не меняет значение среднего всего набора.

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.^[2][3]

Литература