12-06-2024
Степень вершины (англ. degree, также валентность, англ. valency) в теории графов — количество рёбер графа , инцидентных вершине . При подсчёте степени ребро-петля учитывается дважды.[1] Степень вершины обозначается как (в западных источниках — ). Максимальная и минимальная степень вершин графа G обозначаются соответственно Δ(G) и δ(G). На рис. 1 максимальная степень равна 5, минимальная — 0. В регулярном графе степени всех вершин одинаковы, поэтому в данном случае можно говорить о степени графа.
Содержание |
По формуле суммы степеней для графа ,
то есть сумма степеней вершин любого графа равна удвоенному числу его ребер. Кроме того, формула утверждает, что в любом графе число вершин нечётной степени чётно. Данное утверждение (и сама формула) известны как лемма о рукопожатиях. Название происходит от известной математической задачи: необходимо доказать, что в любой группе число людей, пожавших руку нечётному числу других чётно.
Последовательность степеней вершин неориентированного графа является невозрастающей последовательностью.[2] Для графа, изображённого на рис. 1, она имеет вид (5, 3, 3, 2, 2, 1, 0). Последовательность степеней вершин есть инвариант графа, поэтому у изоморфных графов она одинакова. Однако последовательность степеней вершин не является уникальной характеристкой графа: в некоторых случаях неизоморфные графы также обладают одинаковой последовательностью.
Проблема последовательности степеней заключается в нахождении некоторых или всех графов с заданной невозрастающей последовательностью, состоящей из натуральных чисел (нулевые степени при этом могут быть проигнорированы, так как их количество изменяется добавлением или удалением изолированных вершин). Последовательность, являющаяся последовательностью степеней какого-либо графа, называется графической (англ. graphical sequence). Из формулы суммы степеней следует, что любая последовательность с нечётной суммой (как, к примеру, 3, 3, 1) не может быть последовательностью степеней графа. Обратное также верно: если последовательность имеет чётную сумму, она представляет собой последовательность степеней мультиграфа. Построение такого графа осуществляется достаточно простым способом: необходимо объединить вершины нечётных степеней в пары, к оставшимся незаполненными вершинам следует добавить петли.
Сложнее реализовать простой граф с заданной последовательностью. Теорема Эрдёша — Галлаи утверждает, что невозрастающая последовательность di (при i = 1,…,n) может быть последовательностью прстого графа только если её сумма чётна и выполняется неравенство
Например, последовательность (3, 3, 3, 1) не может являться последовательностью простого графа; она удовлетворяет неравенству Эрдёша — Галлаи только при k равном 1, 2 или 4, но не при k равном 3.
С. Л. Хакими доказал, что (d1, d2, …, dn) есть последовательность степеней простого графа только если существует (d2 − 1, d3 − 1, …, dd1+1 − 1, dd1+2, dd1+3, …, dn). Этот факт позволил разработать простой алгоритм нахождения простого графа с заданной реализуемой последовательностью:
Проблема нахождения или оценки числа графов по заданной последовательности относится к области перечисления графов.
Степень вершины дерева это, что такое степень вершины, степень вершины всегда нечетна, степень вершины 2 графа на рисунке.
Файл:Peter I statue KADRIORG.JPG, Собранце, Ахали-Абастумани, Файл:37-мм АВТОМАТИЧЕСКАЯ ЗЕНИТНАЯ ПУШКА обр. 1939 (4).jpg, Р51 (автодорога, Россия).