Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

Определение

Тангенциальнозначной формой на многообразии называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

Операции

• Внутреннее дифференицрование
• Внешнее дифференцирование

Производная Ли

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля по векторному полю определяется стандартным образом:

где  — фазовый поток, соответствующий векторному полю . Эта операция связана с внутренним умножением дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

то есть

где  — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы производная Ли определяется по аналогии:

Свойства

F-N скобки

Скобки Frölicher-Nijenhuis (F-N скобки) двух тангенциальнозначных форм и определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма , для которой

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби.

N-R скобки

Скобки Nijenhuis-Richardson (N-R скобки, алгебраические скобки) двух тангенциальнозначных форм и определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма , для которой

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм , :

Связанные определения

Форма называется припаивающей, если она лежит в .

Литература

• Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.