Теорема Лиувилля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема Лиувилля гласит

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Теорема утверждает сохранение во времени фазового объема, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в -мерном фазовом пространстве ( — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами и сопряжёнными импульсами , где , . Тогда распределение в фазовом пространстве определяет вероятность , что частица будет найдена в малом объёме .

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

Производные фазовых координат по времени оцениваются согласно уравнениям Гамильтона:

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

где -- скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

где  — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — — но сжимается по другой координате так, что произведение остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объем) не изменяется.

Более точно, фазовый объём сохраняется при сдвигах времени. Если

и множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество в момент времени , тогда

для всех времён . Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике -- это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Физическая интерпретация

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил с координатами и импульсами , теорему Лиувилля можно записать в виде

где — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана, и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил .

В классической статистической механике число частиц велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения равна любой функции гамильтониана , например, в распределении Максвелла-Больцмана , где — температура, — постоянная Больцмана.

Смотрите также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль.

Запись через скобку Пуассона

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах вид

уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем приобретает вид

Запись с использованием оператора Лиувилля

При помощи оператора Лиувилля

для гамильтоновых систем уравнение приобретает вид

Замечания

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики. Обобщениями на системы со столкновениями являются уравнение Больцмана, и цепочка уравнений Боголюбова.

См. также

• Интеграл Пуанкаре — Картана