Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Доказательство

Составим ряд из положительных элементов ряда и обозначим его , а элементы ряда обозначим . Соответственно ряд из отрицательных элементов обозначим Следовательно ряд можно представить как: . Исходя из свойств условно сходящихся рядов и — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки и — расходятся в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла S: S За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше S: S Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены и , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов: и , то новый ряд сходится к S. ■

См. также

• Теорема о перестановке ряда — противоположный результат для абсолютно сходящихся рядов.