Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

или ,

где  — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

,

где  — независимые переменные, а  — функция этих переменных.

Примеры

 — однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций , где и  — произвольные константы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения , где  — масса тела,  — его координата,  — сила, действующая на тело с координатой в момент времени . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

Колебание струны задается уравнением , где  — отклонение струны в точке с координатой в момент времени , параметр задает свойства струны. Это так называемое волновое уравнение.

См. также

• Общее решение дифференциального уравнения
• Частное решение дифференциального уравнения
• Особое решение
• Задача Коши
• Однородное дифференциальное уравнение
• Неоднородное дифференциальное уравнение
• Линейное дифференциальное уравнение
• Дифференциальное уравнение Бернулли
• Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро
• Уравнение Риккати
• Дифференциальное уравнение в частных производных
• Квазидифференциальное уравнение
• Дробно-дифференциальное уравнение

Ссылки

• Сайт под редакцией А. Д. Полянина «Мир математических уравнений» — EqWorld
• Русскоязычные ресурсы по дифференциальным уравнениям в Открытом Каталоге.
• Дифференциальные уравнения // Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы (MathML)
• Примеры решения дифференциальных уравнений
• Online решения дифференциальных уравнений

Литература

Учебники

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
• Л. С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974
• Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
• А. Н. Тихонов, Васильева А. Б., А. Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4е изд., Физматлит, 2005.
• А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
• А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
• Чарльз Генри Эдвардс , Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7
• Х. Р. Латипов. Качественные исследование характеристик одного класса дифференциальных уравнений в целом. Т.: ФАН, 1993
• Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — 2007. — 240 с. — ISBN 5354004160
• А. М. Ахтямов. Математика для социологов и экономистов. — М. : Физматлит, 2004.