Тополо́гия Зари́сского в алгебраической геометрии — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и заняла важное место в этой области в 1950-х.

Классическое определение

В классической алгебраической геометрии (то есть до «революции Гротендика» в конце 1950-х и 1960-х) топология определялась следующим образом. Так как сам предмет имел два раздела, занимавшихся, соответственно, аффинными и проективными многообразиями, топология Зарисского определяется несколько по-разному для каждого из типов многообразий. Далее предполагается, что мы работаем над фиксированным алгебраически замкнутым полем K, под которым в классической алгебраической геометрии почти всегда подразумевались комплексные числа.

Аффинное пространство

Топология Зарисского на аффинном пространстве  над полем K — структура топологического пространства, множество замкнутых подмножеств которой совпадает с множеством алгебраических множеств данного пространства, то есть множеств вида

где S это множество полиномов от n переменных над K.

Если  — непустое подмножество аффинного пространства , то топологией Зарисского на нём называется индуцированная топология.

Проективное пространство

Современное определение

Современное определение основывается на понятии спектра кольца. Пусть дано некоторое коммутативное кольцо с единицей. Спектром кольца называется множество его всех простых идеалов, а сами эти идеалы — точками спектра. Так как каждый собственный идеал, например нулевой, по известной теореме содержится в максимальном, значит, простом идеале, поэтому спектр любого кольца не пуст. Топология Зарисского вводится следующим образом — замкнутыми множествами спектра считаются множества всех простых идеалов, содержащих некоторое множество или, что то же самое порождённый им идеал .

Нетрудно проверить все аксиомы. Например, то что объединение двух замкнутых множеств замкнуто следует из цепочки очевидных включений

, отсюда .

Эта топология, как правило нехаусдорфова. Например, в кольце два открытых непустых множества пересекаются. Однако компактен для любого (в отсутствие хаусдорфовости это свойство обычно называется «квазикомпактностью»).

С ранее рассмотренной топологией на аффинном пространстве топология Зарисского на , где алгебраически замкнуто, связывается очень просто. Для любого аффинного многообразия рассмотрим множество многочленов , которые равны 0 на (разумеется, ему принадлежат и наши многочлены , определяющие ). Это множество, очевидно, является идеалом . Рассмотрим фактор-кольцо

называемое кольцом координатных функций на . Пусть образами переменных будут . Построим отображение на

где  — множество всех максимальных идеалов , следующим образом: каждой точке сопоставим  — максимальный идеал функций, не равных нулю на . Ясно что различным соответствуют различные . То что это отображение будет сюръективным (отображением на), то есть каждый максимальный идеал в будет для некоторого следует из теоремы Гильберта о нулях. Таким образом топология Зарисского была определена на множестве всех максимальных идеалов .

Распространение топологии Зарисского со на было введено для выполнения следующего функториального свойства, чтобы каждому гомоморфизму соответствовало непрерывное отображение . Для простого спектра построение тривиально — берётся прообраз простого идеала, для максимального так не получается, так как прообраз максимального идеала не обязательно максимален.

История

Эта топология впервые была рассмотрена Зарисским как топология в множестве нормирований поля алгебраических функций. На простом спектре её определил Гротендик. Так как эта топология, как было отмечено, «плохо себя ведёт», то он ввёл понятие этальной топологии.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.