Существуют различные типы алгебраических многообразий: аффинные многообразия, проективные многообразия, квазипроективные многообразия.

Аффинные многообразия

Множество решений некоторого набора многочленов назовём (аффинным) алгебраическим множеством. Определим на этом множестве топологию Зарисского, в которой замкнутыми множествами являются всевозможные алгебраические множества. Аффинное алгебраическое многообразие это неприводимое замкнутое (в топологии Зарисского) алгебраическое множество. Неприводимость замкнутого множества означает, что его нельзя представить в виде объединения (двух или более) непустых замкнутых множеств.

Пример. Конические сечения (эллипс, парабола, гипербола) в декартовых координатах задаются многочленом 2-й степени и являются примерами аффинных алгебраических многообразий.

Проективные и квазипроективные многообразия

Аналогично определяется проективное алгебраическое многообразие. Проективные алгебраические множества (множества нулей семейства однородных многочленов) образуют совокупность множеств, замкнутых в топологии Зарисского. Проективное алгебраические многообразие — это неприводимое замкнутое(в топологии Зарисского) подмножество проективного пространства

Квазипроективным многообразием называется открытое подмножество проективного многообразия.

Абстрактные алгебраические многообразия

Определение абстрактного многообразия формулируется на языке теории схем.

Литература

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.