12-10-2023
Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.
Содержание |
Мажоранта или верхняя грань (граница) множества — число , такое что .
Миноранта или нижняя грань (граница) множества — число , такое что
Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наименьший элемент , который равен или больше всех элементов множества . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается .
Более формально:
Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наибольший элемент , который равен или меньше всех элементов множества . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается .
Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли и множеству или нет.
В случае , говорят, что является максимумом , т.е. .
В случае , говорят, что является минимумом , т.е. .
Формулировка: Непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань, ограниченное снизу — нижнюю грань. То есть существуют и такие, что
Для множества ограниченного сверху. Пусть - мажоранта множества , представленная в виде бесконечной десятичной дроби. Множество непусто. Запишем все числа из в виде нормальных десятичных дробей,
Множество непусто и ограниченно сверху числом , поэтому существует .
Множество десятичных чисел вида таких, что среди элементов есть число, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения , непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует .
Допустим, что для некоторого номера построено десятичное число такое, что
Обозначим множество десятичных чисел вида , которые служат начальными выражениями для элементов множества . По определению числа на основании свойства 1 множество непусто. Оно конечно, поэтому существует число , обладающее свойствами 1-2 с заменой на , причем появление -ого знака после запятой не влияет на величины предшествующих знаков.
На основании принципа индукции для любого оказывается определенной цифра и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь
Возьмем произвольное число . По построению числа для любого номера выполняется и поэтому . Следовательно, выполнена верхняя строчка в правой части соотношения 1.1 (смотри формулировку). Следовательно, .
Для множества , ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.
Точная верхняя грань.