Формальный степенной ряд

Формальный степенной ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты принадлежат некоторому кольцу . В отличие от степенных рядов в анализе формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и соответственно не имеет смысла сходимость таких рядов для числовых аргументов. Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике.

Неформальное описание

Алгебраические операции

В можно следующим образом определить сложение, умножение, формальное дифференцирование и формальную суперпозицию. Пусть:

Тогда:

(при этом необходимо, чтобы )

Таким образом, формальные степенные ряды образуют кольцо.

Топология

Во множестве также можно задать топологию, что порождается следующей метрикой:

где k наименьшее натуральное число такое, что a_k ≠ b_k;

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы

Формальный ряд:

в R[[X]] является обратимым в R[[X]] тогда и только тогда, когда a₀ является обратимым в R. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен , и достаточным, поскольку коэффициенты тогда определяются по формуле:

$\begin{align}b_0 &= \frac{1}{a_0}\\ b_n &= -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i}\qquad \forall n \,n \ge 1. \end{align}$

Свойства

Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы M, для которых M ∩ R является максимальним идеалом в R и M есть порождение X и M ∩ R.
Если R является локальным кольцом, то локальным кольцом является также R[[X]]
R — Нётерово кольцо, то также R[[X]] является кольцом Нётер .
Если R — область целостности, то R[[X]] также будет областью целостности.
Метрическое пространство (R[[X]], d) является полным.
Кольцо R[[X]] является компактным тогда, когда кольцо R является конечным.

См. также

Ссылки

Формальные степенные ряды на сайте PlanetMath.

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации