Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Функциональная последовательность

В этом разделе всё происходит на множестве

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве включенном в d-мерное евклидово пространство .

Поточечная сходимость

Функциональная последовательность сходится поточечно к функции , если .

Равномерная сходимость

Существует функция такая, что:

Факт равномерной сходимости последовательности к функции записывается:

Функциональный ряд

 — n-ная частичная сумма.

Поточечная сходимость

Последовательность сходится поточечно.

Равномерная сходимость

Последовательность сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для последовательности . Чтобы последовательность функций , определенных на множестве V, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого эпселон (E) больше нуля существовал номер N, зависящий от эпселон , такой, что при всех n,m больше либо равных N одновременно для всех х из V выполнялось неравенство | -- | < E

Абсолютная сходимость

Ряд сходится.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд сходится равномерно.

Признак Вейерштрасса

Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Числовой ряд сходится.

Признак Дирихле

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций монотонна и
2. Частичные суммы ряда равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций равномерно ограничена и монотонна .
2. Ряд равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Последовательность

функция непрерывна в точке

Тогда непрерывна в .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Ряд

функция непрерывна в точке

Тогда непрерывна в .

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

функция непрерывна на отрезке

на

Тогда

Теорема о почленном интегрировании.

функция непрерывна на отрезке

на

Тогда

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

функция непрерывно дифференцируема на отрезке

сходится

на отрезке

Тогда  — непрерывно дифференцируема на , на

Теорема о почленном дифференцировании.

функция непрерывно дифференцируема на отрезке

сходится

равномерно сходится на отрезке

Тогда  — непрерывно дифференцируема на , на

Ссылки

• О.В.Бесов Лекции по математическому анализу Ч. 1. — М.: МФТИ, 2004. — 327 с. Глава 16 Функциональные последовательности и ряды