В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Джон М. Доусона (англ.)) — неэлементарная функция действительного переменного:

Свойства

Общие свойства

• Нечётная функция: .
• Производная: .
• Неопределённый интеграл: , где - обобщённая гипергеометрическая функция.
• Является дробной производной обратной экспоненты: .
• Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения : . Дроби задаются последовательностями цифр последовательность 133841 в OEIS и последовательность 133842 в OEIS.
• Имеет точку перегиба: (последовательность 133843 в OEIS).
• Раскладывается в цепные дроби:

Функция ошибок

Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf:

где erfi является мнимой частью функции ошибок, erfi(x) = −i erf(ix).

Асимптотика

Для |x|, близких к нулю, F(x) ≈ x, а для |x| больших, F(x) ≈ 1/(2x). Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд:

(этот степенной ряд сходится при всех x) и, около , имеется асимптотическое разложение:

(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд).

Альтернативное определение

F(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

с начальным условием F (0) = 0.

Обобщения

Иногда используют другое обозначение для функции Доусона: , тогда вводят "симметричную" её в нотации:  ; в таких обозначениях:

и

.

См. также

• Интеграл Френеля
• Функция ошибок

Литература

• Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255

Ссылки

• Cephes — Библиотека математических функций на C и C++
• Weisstein, Eric W. Интеграл Доусона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Функция ошибок
• Реализации функции Доусона