Фу́нкция правдоподо́бия в математической статистике — это совместное распределение выборки из параметрического распределения как функции параметра. Функция правдоподобия основывается на условной вероятности взятием ее как функции от второго аргумента при фиксированном первом. Например, модель, в которой плотность вероятности случайной величины X зависит от параметра θ. Тогда для некоторого конкретного значения x случайной величины X функция L(θ | x) = P(X=x | θ) и есть функция правдоподобия θ, определяющая насколько правдоподобно каждое конкретное значение параметра θ при условии, что нам известно значение x величины X. Две функции правдоподобия являются равными, если одна есть произведение второй на некоторую скалярную величину.

Определение

Пусть есть параметрическое семейство распределений вероятности . Пусть дана выборка для некоторого . Предположим, что совместное распределение этой выборки задаётся функцией , где является либо плотностью вероятности, либо функцией вероятности случайного вектора .

Для фиксированной реализации выборки функция называется функцией правдоподобия.

Замечания

• Функция , где

,

называется логарифми́ческой фу́нкцией правдоподо́бия.

• Если выборка независима, то

,

где  — плотность или функция вероятности распределения . Логарифмическая функция правдоподобия в этом случае имеет вид:

.

• Функция правдоподобия измеряет степень вероятности появления реализации выборки из распределения .

История

Впервые правдоподобие было упомянуто в книге Торвальда Тиле, опубликованной в 1889 году^[1].

Полное описание идеи правдоподобия впервые было дано Рональдом Фишером в 1922 году в работе «Математические основы теоретической статистики»^[2] (англ.). В этой работе Фишер также использует термин метод максимального правдоподобия. Фишер возражает против использования обратной вероятности как основы статистических заключений и предлагает вместо неё использовать функцию правдоподобия.

См. также

• Метод максимального правдоподобия

Примечания