Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса и гиперболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса. Предложены Данделеном в 1822 году.

Построение

Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса. Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям C и C' и касающиеся секущей плоскости в точках F и F'. Такие сферы называют шарами Данделена. В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.

Если взять произвольную точку P на линии пересечения конуса и плоскости и провести через нее образующую конуса, которая пересекается с окружностями C и C' в точках Q и Q', то при перемещении точки P, точки Q и Q' будут перемещаться по окружностям C и C' с сохранением расстояния |QQ '|.

Так как и  — отрезки двух касательных к сфере из одной точки , то и, аналогично, .

Таким образом точки на линии пересечения

• имеют постоянную сумму и значит, что множество возможных точек P — это есть эллипс, а точки F и F ' — его фокусы.
• или имеют постоянную разницу и значит, что множество возможных точек P — это есть гипербола, а точки F и F ' — его фокусы.

Литература

• Dandelin G. Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (pp. 3-16).
• Шаль М. О способе построения фокусов и доказательства их свойств на косом конусе // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883.
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Глава 1 // Наглядная геометрия. — 3-е русск. изд. — М.: Наука, 1981.
• Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

• Делоне Б. Н., Райков Д. А. том 2 // Аналитическая геометрия. — М., Л.: Гостехиздат, 1949. — 516 с.
• Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии. — СПб.: Лань, 2003. — 160 с.