Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства обычно обозначается .

Определения

• Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

где обозначает число клеток размерности .

• Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти как знакопеременная сумма:

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

• Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства

• Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
  • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.

Эйлерова характеристика полиэдров

• Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле: где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для выпуклого многогранника верна формула Эйлера:

Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Теорема Гаусса — Бонне

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику с гауссовой кривизной многообразия:

где — элемент площади поверхности .

• Существует обобщение формулы Гаусса-Бонне для двумерного многообразия с краем.
• Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное римановых многообразий многообразия известная, как Теорема Гаусса — Бонне — Черна или Обобщённая формула Гаусса — Бонне.
• Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на . ^[1]
• Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентированные и неориентированные поверхности

• Эйлерова характеристика для ориентированной сферы с ручками выражается формулой: , где g - число ручек, для неориентированной поверхности формула выглядит, как .

Величина эйлеровой характеристики

История

В 1752 году Эйлер^[2] опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Р. Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1899 году Пуанкаре^[3] обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

где — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если формально считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

Примечания