Алгебра Хопфа — алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа.

Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в связи с концепцией H-пространством, в теории схем групп, в теории групп (благодаря концепции группового кольца), и во многих других местах, делая их вероятно с самым знакомым типом биалгебра. Алгебры Хопфа также изучаются сами по себе, с большим количеством определенных классов примеров с одной стороны и проблем классификации с другой стороны.

Строгое определение

Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра H над полем K вместе с K-линейное отображение (называемое антиподом) так что следующая диаграмма коммутирует:

Здесь Δ — соумножение биалгебры, ∇ её умножение, η её единица и ε её соединица. В нотации Свидлера, это свойство также может быть выражено как

Что касается алгебры s, то в вышеупомянутом определении можно заменить подразумеваемое поле K на коммутативное кольцо R.

Определение алгебры Хопфа само-двойное (как отражено в симметрии вышеупомянутой диаграммы), так, если можно определить сопряжённое H (которое всегда возможно, если H является конечномерным), то оно — автоматически алгебра Хопфа.

Свойства антипода

Антипод S иногда обязан иметь K-линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если H коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря квазитреугольная).

Вообще говоря, S — антигомоморфизм,^[1] так  — гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если «S» была обратима (как может требоваться).

Если , то алгебра Хопфа, как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью — *-алгебра). Если «H» конечномерная полупростая по полю характеристики ноль, коммутативная, или ккоммутативная, то это — запутанная алгебра.

Если биалгебра B допускает антипод S, то S уникален («биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа»).^[2]

Антипод — аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает к .^[3]

Подалгебры Хопфа

Подалгебра K (не смешивать с полем K в примечании выше) алгебры Хопфа H является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй H, и антипод S отображает K в K. Другими словами, подалгебра Хопфа K это подпространство в алгебре Хопфа, замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Никлоса-Зеллера (Nichols-Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный K-модуль имеет конечный ранг и свободен, если H конеченомерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.

Подалгебра Хопфа K, называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа H, если она удовлетворяет условию стабильности, для всех h из H, где присоединённое действие определено как для всех k из K и h из H. Точно так же подалгебра Хопфа K является левой нормальной в H если она инвариантна при левом сопряжении, определенном как . Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен. В этом случае говорят, что K является нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа K в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): , где обозначает ядро коединицы K. Это условие нормальности подразумевает, что  — идеал Хопфа алгебры H (то есть идеал алгебры в ядре коединицы, коидеал коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена фактор алгебра Хопфа и эпиморфизм , аналогично соответствующимконструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.^[4]

Примеры

1. Алгебра группы. Предположим «G» — группа. Алгебра группы «КГ» — унитарная ассоциативная алгебра по «K». Это превращается в алгебру Хопфа, если мы определим
2. * Δ: «KG» → «KG» ⊗ «KG» Δ («g») = «g» ⊗ «g» для всего «g» в «G»
3. * ε: «KG» → «K» ε («g») = 1 для всего «g» в «G»
4. * «S»: «KG» → «KG» «S» («g») = «g»  ⁻¹для всего «g» в «G».

Когомология групп Ли

Алгебра когомологии группы Ли — алгебра Хопфа: умножение обеспечено соумножением, и коумножением

умножением группы . Это наблюдение было фактически источником понятия Hopf алгебры. Используя эту структуру, Хопф доказал теорему структуры для алгебры когомологии групп Ли.

Теорема Хопфа^[5] Пусть A конечномерная, суперкоммутативная, кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда A (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени.

Квантовые группы

Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное) или кокоммутативными (то есть Δ = «T» Δ где «T»: «H» ⊗ «H» → «H» ⊗ «H» есть перестановка тензорных сомноителей, определенная как «T» («x» ⊗ «y») = «y» ⊗ «x»). Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации или «квантования» примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в тернимах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».

Аналогия с группами

Группы могут быть аксиоматизированы в соответствии с теми же самыми диаграммами (эквивалентностями, операциями) как алгебра Хопфа, где «G» берётся как набор вместо модуля. В этом случае:

• поле K заменено набором с 1 точкой
• есть естественная коединица (отображение к 1 точке)
• есть естественное коумножение (диагональное отображение)
• единица — уникальный элемент группы
• умножение — умножение в группе
• антипод — инверсия

В этой философии, о группе можно думать как о алгебре Хопфа по " поле с одним элементом ".^[6]

Примечания