Эллиптические интегралы не выражаются через элементарные функции. По определению, элементарные функции ^[1] — функции, определяемые формулами, содержащими конечное число алгебраических или тригонометрических операций, производимых над аргументом, функцией и некоторыми постоянными.

Эллиптические интегралы в лежандровой форме 1-го, 2-го и 3-го родов ^[1], а также интегралы, сходные с ними (с заменой знаков плюс на минус и/или с заменой cos на sin или наоборот) точно представимы функциональным рядом. Такое представление не является элементарной функцией ввиду бесконечного числа членов этого ряда.

Руководствуясь соображениями достижения необходимой точности и, взяв в расчёт n начальных членов ряда и пренебрегая остатком, то есть суммой остальных членов ряда от n+1 до , получим аппроксимацию (определённого или неопределённого) эллиптического интеграла в виде элементарной функции. Аппроксимации эллиптических интегралов применяются аналогично обычным интегралам.

Определённый интеграл 1-го рода можно представить в виде:

Определённый интеграл 2-го рода представим в виде:

Длина дуги эллипса с единичной большой полуосью:

Определённый интеграл 3-го рода можно записать в виде:

Пример

Для вычисления длины дуги геодезической линии на поверхности земного сфероида^[2], требуется вычисление определённого интеграла вида:

Обозначения в формулах:

 — расчётная относительная погрешность вычисления эллиптических интегралов по указанным формулам для эллипсов, подобных меридиональному земному ( и ).

 — максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы в диапазоне углов

 — число, указывающее, во сколько раз уменьшится максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы, если добавить неуказанных членов в её формулу разложения.

См. также

• Численное интегрирование

Примечания