22-10-2023
В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером.
В современном представлении, эллиптический интеграл — это некоторая функция , которая может быть представлена в следующем виде:
где — рациональная функция двух аргументов, — квадратный корень из многочлена 3 или 4 степени с несовпадающими корнями, — константа.
В общем случае, эллиптический интеграл не может быть выражен в элементарных функциях; исключением являются случаи, когда имеет повторяющиеся корни или когда не содержит нечетных степеней . Однако для каждого эллиптического интеграла существует механизм приведения его к сумме элементарных функций и трёх нормальных эллиптических интегралов (то есть эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода).
Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:
Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр. Г. Корн, Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»)
Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.
Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:
Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что зависит также и от . Несколько дополнительных уравнений связывают с другими параметрами:
и
Последее иногда называется дельта амплитуда и записывается как
Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительнй модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода определяется как
или, в форме Якоби,
Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «, ». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как
или, используя подстановку ,
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода определяется как
или
Число называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла стремится к бесконечности для любых .
Введем дополнительные обозначения:
Тогда можно записать эллиптический интеграл через тета-функции:
где
и
С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как .
Введем дополнительно величину
Тогда:
Введем дополнительные обозначения:
Тогда эллиптический интеграл равен:
где
и
С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как .
Введем дополнительно величину
Тогда:
В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:
или
Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:
что эквивалентно выражению
где обозначает двойной факториал.
Полный эллиптический интеграл первого рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:
В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:
или
Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:
что эквивалентно выражению
Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:
Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и второго рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:
или
где — дзета-функция Якоби
где — лямбда-функция Хеймана
или
Эллиптический интеграл.