27-04-2024
Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом [1][2], аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах, получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного Лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.
Векторный оператор Лапласа векторного поля определяется следующим образом:
В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля :
где , , — компоненты векторного поля .
Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».
Лапласиан любого тензорного поля (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:
В случае если — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.
Если — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:
где (общий вид компоненты тензора), и могут принимать значения из множества .
Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:
Данное выражение зависит от системы координат.
Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для идеальной несжимаемой жидкости[4]:
где слагаемое с векторными оператором Лапласа от поля скоростей представляет собой вязкость жидкости.
Дифференциальное исчисление | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Основное | Производная • Дифференциал • Производная по направлению • Частная производная • Полная производная функции • Логарифмическая производная • Матрица Якоби • Матрица Гессе • Дифференциальная форма • Дифференциальное уравнение | ||||||
Частные виды | Производная Ли • Производная Дини • Производная Пинкерля • Производная Римана • Ковариантная производная • Производная Пеано • Производная Радона — Никодима | ||||||
Дифференциальные операторы (в различных координатах) |
|
||||||
Связанные темы | Численное дифференцирование • Вариационное исчисление • Интеграл • Ряд Тейлора |
Векторный оператор лапласа физический смысл, векторный оператор лапласа в цилиндрических координатах, векторный оператор лапласа в криволинейной системе координат.