14-08-2023
Вектор Шепли — принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме ее формирования.
Содержание |
Для кооперативной игры рассмотрим некоторое упорядочение множества игроков N. Обозначим через подмножество, содержащее i первых игроков в данном упорядочении. Вкладом i-го по счету игрока назовем величину , где v — характеристическая функция кооперативной игры.
Вектором Шепли кооперативной игры называется такое распределение выигрыша, в котором каждый игрок получает математическое ожидание своего вклада в соответствующие коалиции , при равновероятном возникновении упорядочений:
где n — количество игроков, T — множество упорядочений множества игроков N, — распределение выигрыша, в котором игрок, стоящий на месте i в упорядочении , получает свой вклад в коалицию (точка Вебера).
Более распространенная формула для вычисления вектора Шепли, не требующая нахождения n! точек Вебера, имеет вид:
где n — количество игроков, k — количество участников коалиции K.
Вектор Шепли удовлетворяет следующим свойствам:
1. Линейность. Отображение представляет собой линейный оператор, то есть для любых двух игр с характеристическими функциями v и w
и для любой игры с характеристической функцией v и для любого
2. Симметричность. Получаемый игроком выигрыш не зависит от его номера. Это означает, что если игра w получена из игры v перестановкой игроков, то ее вектор Шепли есть вектор с соответствующим образом переставленными элементами.
3. Аксиома болвана. Болваном в теории кооперативных игр называется бесполезный игрок, не вносящий вклада ни в какую коалицию, то есть игрок i, такой что для любой коалиции K, содержащей i, выполнено: .
Аксиома болвана состоит в том, что если игрок i — болван, то .
4. Эффективность. Вектор Шепли позволяет полностью распределить имеющееся в распоряжении тотальной коалиции благосостояние, то есть сумма компонент вектора равна .
Теорема Шепли. Для любой кооперативной игры v существует единственное распределение выигрыша, удовлетворяющее аксиомам 1 — 4, задаваемое приведенной выше формулой.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Вектор Шепли.