Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, A плотно в X, если всякая окрестность любой точки x из X содержит элемент A.

Определения

• Пусть даны топологическое пространство и два подмножества Тогда множество называется плотным в множестве , если любая окрестность любой точки содержит хотя бы одну точку из , то есть

• Множество называется всюду плотным, если оно плотно в

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

• Множество плотно в тогда и только тогда, когда замыкание содержит , то есть . В частности, всюду плотно, если .
• Множество плотно в тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к не пересекается с , то есть . В частности, всюду плотно, если .

Примеры

• Множество рациональных чисел плотно в пространстве вещественных чисел .

См. также

• Нигде не плотное множество
• Сепарабельное пространство

Литература

• Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология — М: Высшая школа, 1979.
• Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
• Энгелькинг Р. Общая топология — М.: Мир, 1986
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. Учебник в задачах (рус., англ.)