В геометрии и топологии замыка́ние подмножества топологического пространства — это пересечение всех замкнутых надмножеств данного подмножества. Эквивалентно, замыкание подмножества — это совокупность всех его точек прикосновения.

Точка прикосновения

Точка прикосновения множества М - такая точка а, что каждая её окрестность содержит хотя бы одну точку множества М.

Определение

Пусть задано топологическое пространство , и подмножество . Точка называется то́чкой прикоснове́ния множества , если любая её окрестность пересекается с . То есть,

Замечание

Очевидно, если , то является точкой прикосновения. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры

Пусть  — множество вещественных чисел со стандартной топологией, и  — произвольный интервал. Тогда любая точка является точкой прикосновения .

Замыкание

Определение

Совокупность всех точек прикосновения множества называется замыканием множества и обозначается или .

Свойства

1. Операция замыкания является унарной операцией на множестве всех подмножеств .
2. Замыкание множества содержит само множество, то есть .
3. Замыкание множества замкнуто.
4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть .
5. В частности,
7. Замыкание множества является наименьшим замкнутым множеством, содержащим , то есть .
8. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть
9. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть
10. Замыкание пересечения есть подмножество пересечения замыканий (но, вообще говоря, не равно ему), то есть .

Замечание

Свойство 7 часто принимается в качестве определения замыкания. Данное выше определение тогда выводится в качестве одного из свойств.

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая с заданной на ней стандартной топологией.

• ;
• , где  — множество рациональных чисел.