У этого термина существуют и другие значения, см.
Гамма.
Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается .
Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.
Определения
График гамма-функции действительного переменного
Интегральное определение
Если вещественная часть комплексного числа положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл
На всю комплексную плоскость функция аналитически продолжается через тождество
Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.
Определение по Гауссу
Оно верно для всех комплексных , за исключением 0 и отрицательных целых чисел
Определение по Эйлеру
где — постоянная Эйлера — Маскерони.
Замечания
- выполняется для подынтегрального выражения.
Связанные определения
- Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом:
- .
- В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:
- .
Свойства
График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.
- формула дополнения
- .
- Наиболее известные значения гамма-функции от нецелого аргумента это
- Гамма-функция имеет полюс в для любого натурального и нуля; вычет в этой точке задается так
- .
- Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных , не являющихся неположительными целыми:
- ,
- где — это константа Эйлера.
- формула, полученная Гауссом:
- .
- Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:
- .
- Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и , где часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией.
- Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
- .
См. также