Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения

• Пусть есть некоторое множество, а — семейство всех его подмножеств. Тогда является топологией, называемой дискретной, а пара называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
• Пусть — метрическое пространство, где метрика определена следующим образом:

Тогда называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное - неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры

• Пусть где , и — дискретная метрика на . Тогда — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
• Пусть и Очевидно, заданная метрика не дискретна. Однако, она порождает дискретную топологию.

Свойства

• Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда множество, содержащее лишь одну любую его точку, открыто.
• Множества, содержащие любую одну точку дискретного топологического пространства, являют собой базу дискретной топологии.
• Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
• Дискретное метрическое пространство ограничено.
• Любые два дискретных топологических пространства, имеющих одинаковую мощность, гомеоморфны.
• Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
• Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Тривиальная топология.