Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.

Определение

Пусть и — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция называется -измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из принадлежит , то есть

где означает полный прообраз множества .

Замечания

• Если и — топологические пространства, и алгебры и явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
• Смысл данного определения в том, что если на множестве задана мера, то данная функция индуцирует(передает) эту меру и на множество .

Вещественнозначные измеримые функции

Пусть дана функция . Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

• Функция измерима, если

.

• Функция измерима, если

, таких что , имеем ,

где обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения

• Пусть и — две копии вещественной прямой вместе с ее борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция называется борелевской.
• Измеримая функция , где — множество элементарных исходов, а — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом.

Примеры

• Пусть — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
• Пусть и — индикатор множества Тогда функция не является измеримой.

История

В 1901 году французский математик Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. Однако в диссертации Лебега (1902) теория меры была существенно обобщена до «меры Лебега». Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рисс, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
• Медведев Ф. А. К истории понятия измеримой функции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 481-492.
• Xалмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.