σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.
Определение
Семейство подмножеств множества называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
- содержит пустое множество.
- Если , то и его дополнение .
- Объединение счётного подсемейства из также в .
Замечания
- Для любой системы множеств существует минимальная сигма-алгебра , являющаяся её надмножеством.
- Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на , то есть на минимальную сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
- σ-алгебра, порождённая случайной величиной , определяется следующим образом:
-
- ,
- где — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — минимальная сигма-алгебра на пространстве , относительно которой случайная величина всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции её можно ввести и наделить таким образом пространство структурой измеримого пространства, так что функция будет измеримой.
Связанные определения
- Измеримое пространство — это пара , где — множество, а — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.
Примеры
- Борелевская сигма-алгебра
- Для любого множества можно построить тривиа́льную σ-алгебру , где — пустое множество.
- Для любого множества можно построить ещё одну тривиа́льную σ-алгебру, которая содержит все его подмножества.
