Интеграл вероятности

График функции ошибок

В математике функция ошибок (функция Лапласа) — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение ) определяется через функцию ошибок:

Комплексная функция ошибок, обозначаемая , также определяется через функцию ошибок:

Содержание

1 Свойства
2 Применение
3 Асимптотическое разложение
4 Родственные функции
- 4.1 Обобщённые функции ошибок
- 4.2 Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок
5 Реализация
6 См. также
7 Литература
8 Ссылки

Свойства

Функция ошибок нечётна:

Для любого комплексного выполняется

где черта обозначает комплексное сопряжение числа .

Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного ^{[источник не указан 222 дня]}, так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

поскольку — сомножитель, превращающий -й член ряда в -й, считая первым членом .

Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой.

Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

Обратная функция ошибок представляет собой ряд

где c₀ = 1 и

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

[1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Дополнительная функция ошибок

Применение

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением , то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на , равна .

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение

При больших полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

Хотя для любого конечного этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

где

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым

Обратная функция к , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как

$\operatorname{probit}\,p = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1).$

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

$\operatorname{erf}\,x= \frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).$

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

Обобщённые функции ошибок

График обобщённых функций ошибок :
серая линия:
красная линия:
зелёная линия:
синяя линия:
жёлтая линия: .

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

$E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x e^{-t^n}\,dt =\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.$

Примечательными частными случаями являются:

— прямая линия, проходящая через начало координат:
— функция ошибок .

После деления на все с нечётными выглядят похоже (но не идентично). Все с чётными тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на . Все обобщённые функции ошибок с выглядят похоже на полуоси .

На полуоси все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

$E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi}, \quad \quad x>0$

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

$i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \int\limits_z^\infty i^{n-1}\,\operatorname{erfc}\,\zeta\,d\zeta.\,$

Их можно разложить в ряд:

$i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,$

откуда следуют свойства симметрии

$i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z) = -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}$

$i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z) =i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.$

Реализация

В стандарте языка содержатся в библиотеке Math проекта Boost.

В языке [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.

[4] и Mathematica содержат обычную и дополнительную функцию ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке [5] Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта [6].

См. также

Литература

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)
Nikolai G. Lehtinen "Error functions", April 2010 [7]

Ссылки

MathWorld — Erf
Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации