Касательное пространство к гладкому многообразию в точке — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к в точке обычно обозначается или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто .

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Определения

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентости гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.

Как класс эквивалентости гладких кривых

Пусть — гладкое многообразие и . Рассмотрим класс гладких кривых таких, что . Введём на отношение эквивалентости: если

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей .

Элементы касательного пространства определяются как -классы эквивалентности ; то есть

.

В карте такой, что соответствует началу коодинат, кривые из можно складывать и умножать на число следующим образом

При этом результат остаётся в .

Эти операции продожаются до классов эквивалентности . Более того, индуцированные на операции уже не зависят от выбора карты. Так на определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке

Пусть — -гладкое многообразие. Тогда касательным к многообразию в точке называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов , сопоставляющих каждой гладкой функции число и обладающих следующими свойствами:

• аддитивность:
• правило Лейбница:

На множестве всех дифференцирований в точке возникает естественная структура линейного пространства:

Замечания

• В случае -гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство

  если

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей .

• В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.

• Пусть . Тогда правило Лейбница и свойство адитивности для оператора выполняются для . Это позволяет иденцифицировать касательные пространства получаемые в первом и вторым определении.

Свойства

• Касательное пространство -мерного гладкого многообразия является -мерным векторным пространством
• Для выбранной локальной карты , операторы дифференцирования по :

представляют собой базис , называемый голономным базисом.

Связанные определения

• Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

Вариации и обобщения

Алгебраическое касательное пространство

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для -дифференцируемых многообразий, ). Оно обобщается на любое локально окольцованное пространство.

Пусть — -дифференцируемое многообразие, — кольцо дифференцируемых функций из в . Рассмотрим кольцо ростков функций в точке и каноническую проекцию . Обозначим через ядро гомоморфизма колец . Введем на структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма , и будем далее отождествлять и . Имеет место равенство .^[1] Обозначим через подалгебру , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке в каждой карте; обозначим . Заметим, что .

Рассмотрим два векторных пространства:

•  — это пространство имеет размерность и совпадает с определенным ранее касательным пространством к в точке ,
•  — это пространство изоморфно пространству дифференцирований со значениями в , его называют алгебраическим касательным пространством^[2] в точке .

Если , то имеет размерность континуум, а содержит как нетривиальное подпространство; в случае или эти пространства совпадают (и ).^[3] В обоих случаях можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований со значениями в , для вектора формула задает инъективный гомоморфизм в пространство дифференцирований со значениями в (структура вещественной алгебры на задается аналогично ). При этом в случае получается в точности определение, данное выше.

См. также

• Касательный вектор
• Кокасательное пространство
• Касательное расслоение

Примечания

1. ↑ Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
2. ↑ Laird E. Taylor, The Tangent Space to a Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
3. ↑ JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.