09-10-2023
В статистике метод оценки с помощью апостериорного максимума (MAP) тесно связан с методом максимального правдоподобия (ML), но дополнительно при оптимизации использует априорное распределение величины, которую оценивает.
Содержание |
Предположим, что нам нужно оценить неконтролируемый параметр выборки на базе наблюдений . Пусть - выборочное распределение , такое, что - вероятность в то время как параметр выборки . Тогда функция
известна как функция правдоподобия, а оценка
как оценка максимального правдоподобия .
Теперь, предположим, что априорное распределение на существует. Это позволяет рассматривать как случайную величину как в Байесовской статистике. тогда апостериорное распределение :
где плотность распределения , - область определения . Это прямое приложение Теоремы Байеса.
Метод оценки максимального правдоподобия затем оценивает как апостериорное распределение этой случайной величины:
Знаменатель апостериорного распределения не зависит от и поэтому не играет роли в оптимизации. Заметим, что MAP оценка соответствует ML оценке когда априорная постоянна (т.е., константа).
Предположим, что у нас есть последовательность i.i.d. случайных величин и априорное распределение задано . Мы хотим найти MAP оценку .
Функция, которую нужно максимизировать задана
что эквивалентно минимизации в
Таким образом, мы видим, что MAP оценка для μ задана
Максимальная апостериорная гипотеза.