Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, путанное, пушистое) множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале , а не только значения или .

Определение

Под нечётким множеством понимается совокупность

где — универсальное множество, а — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента нечёткому множеству .

Функция принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве . Множество называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок . Если , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Основные определения

Пусть нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда

• Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество .
• Величина называется высотой нечёткого множества . Нечёткое множество нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным.
• Нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:

.

• Нечёткое множество унимодально, если только на одном из .
• Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

Сравнение нечётких множеств

Пусть и нечёткие множества, заданные на универсальном множестве .

• содержится в , если для любого элемента из функция его принадлежности множеству будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству :

• В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества в , которое определяется так:

где

• Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

• В случае, если значения функций принадлежности и почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств и , например, в виде

где

Свойства нечётких множеств

• α-разрезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация

• Нечёткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых и .

• Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых и .

Операции над нечёткими множествами

При

• Пересечением нечётких множеств и называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в и :

• Произведением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

• Объединением нечётких множеств и называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее элементы или :

• Суммой нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

• Отрицанием множества называется множество с функцией принадлежности:

для каждого .

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определеляется следующим образом

где функция T — это так называетмая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

• 
• , для .

Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определеляется следующим образом

где функция S — S-норма (T-конорма). Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

• 
• , для .

Связь с теорией вероятностей

Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности можно рассматривать как вероятность накрытия элемента некоторым случайным множеством .

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.

Примеры

Литература

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 166c.
• Zadeh L.A. Fuzzy sets. — Information and Control, 1965, vol.8, N 3,pp.338-353.
• Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.
• Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р.Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986.

Ссылки

• Международная ассоциация нечетких систем (International Fuzzy Systems Association)

См. также

• Теория нечётких множеств
• Нечёткие множества в финансовом менеджменте
• Линейная частичная информация