Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин.

Теория обобщенных функций была впервые построена Η. Μ. Гюнтером в 1916 году^[1] и позже развивалась и пропагандировалась С. Л. Соболевым и затем Л. Шварцем. Обобщённые функции использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике.

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений ^[2].

Определение

Формально обобщённая функция определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций) . Важным примером основного пространства является пространство  — совокупность финитных -функций на , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они -сходятся.

Сопряжённое пространство к есть пространство обобщённых функций .

Сходимость последовательности обобщённых функций из определяется как слабая сходимость функционалов из , то есть , в означает, что , для любой .

Для того, чтобы линейный функционал на был обобщённой функцией, то есть , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества существовали числа и такие, что

для всех с носителем в .

Если в неравенстве число можно выбрать не зависящим от , то обобщённая функция имеет конечный порядок; наименьшее такое называется порядком .

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция из совпадает в с локально суммируемой в функцией , если

для всех с носителем в . В частности, при получается определение того, что обобщённая функция обращается в нуль внутри .

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции и обозначается . Если компактен, то обобщённая функция называется финитной.

Примеры

• Любая локально конечная мера определяет обобщённую функцию

В частности,

• Примером сингулярной обобщённой функции в служит -функция Дирака

Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке . -функция имеет порядок 1.

• Поверхностная -функция. Пусть  — кусочно гладкая поверхность и  — непрерывная функция на . Обобщённая функция определяется равенством

При этом  — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности с поверхностной плотностью (плотность простого слоя).

• Обобщённая функция определяемая равенством

(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве она регулярна и совпадает с .

Операции

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Замена переменных

Пусть и  — гладкая замена переменных. Обобщённая функция определяется равенством

где обозначает якобиан . Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению , она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.

Произведение

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.

Пусть и . Произведение определяется равенством

Например , . Для обычных локально суммируемых функций произведение совпадает с обычным умножением функций и .

Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций^[3][4].

Дифференцирование

Пусть . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции определяется равенством

Так как операция линейна и непрерывна из в , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

Свойства

• Пространство  — полное: если последовательность обобщённых функций из такова, что для любой функции числовая последовательность сходится, то функционал

принадлежит .

• Всякая из есть слабый предел функций из . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
• Любая обобщённая функция из бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
• Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
• Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения , где .
• Всякая обобщённая функция из есть некоторая частная производная от непрерывной функции в .
• Для любой обобщённой функции порядка с носителем в точке 0 существует единственное представление в виде линейной комбинации частных производных в нуле, с порядком меньшим либо равным .

Примеры

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

Примечания