Операда (клон полилинейных операций) — семейство множеств с левым действием симметрических групп на соответствующих и с операциями композиции:

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

и наличию единицы .

Операда называется линейной, если являются пространствами, действия симметрических групп являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство c полилинейными операциями композиции:

со свойствами унитарности и обобщённой ассоциативности:

Примеры

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

• Простейшей операдой является ассоциативное кольцо с единицей: . Алгебра над ней — это правый -модуль.
• Структуру линейной операды можно определить на семействе групповых алгебр над симметрическими группами , а также и на , где — моноид.

История

Алгебры над операдами, без явного определения этих понятий, были впервые по существу использованы американским математиком Джеймсом Сташефом в статье 1963 года. Композиционные комплексы были введены американским математиком Мюрреем Герстенхабером в статье здесь). Примерно в то же самое время американский тополог Майкл Бордман и немецкий тополог Райнер Фогт написали труд, считающийся классическим в теории операд, используя вместо этого названия ПРОПы Маклейна и алгебраические теории Ловера.

Литература

• Stasheff J. D. Homotopy Associativity of H-Spaces. I // Transactions of the American Mathematical Society. — 1963. — vol. 108. — No. 2. — pp. 275—292.
• Gerstenhaber M. On the deformations of rings and algebras:III // Annals of Mathematics, Second Series. — 1968. — vol. 88. — No. 1. — pp. 1—34.
• Артамонов В. А. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры // УМН. — 1969. — т. 24. — № 1. — с. 47—59.
• May J. P. The geometry of iterated loop spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 271. — Berlin: Springer-Verlag, 1972. — 175 p.
• Boardman J. M.; Vogt R. M. Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 347. — Berlin: Springer-Verlag, 1973.