28-04-2024
В теории множеств парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.
Содержание |
В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок.
Можно доказать, что если — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов . Предположим теперь, что — множество всех порядковых чисел. Тогда — порядковое число, большее или равное любому из чисел в . Но тогда и — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в . Но это противоречит условию, по которому — множество всех порядковых чисел.
Парадокс был обнаружен Чезаре Бурали-Форти в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех таких, что » ().
Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия , с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя — Бернайса позволяется образование терма для произвольных , но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а собственно классом.
Парадокс бурали-форти, парадокс бурали-форти кратко и понятно.
Карвалью, Вильям, Файл:Flag of Auces novads.png, Айнские языки.
