22-10-2023
Парадокс Рассела — открытый в 1901 году[1] Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытый Э. Цермело теоретико-множественный парадокс, демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Г. Кантора.
Парадокс Рассела формулируется следующим образом:
Пусть — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению , оно не должно быть элементом — противоречие. Если нет — то, по определению , оно должно быть элементом — вновь противоречие.
Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использования в рассуждении внутренне противоречивого[2] понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами. Для преодоления этого парадокса было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в предъявлении для теории множеств непротиворечивой формализации , по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы оперирования с множествами. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.
Действительно, допустим, что множество всех множеств существует. Тогда, согласно аксиоме выделения, должно существовать и множество , элементами которого являются те и только те множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Однако предположение о существовании множества приводит к парадоксу Рассела. Следовательно, ввиду непротиворечивости теории , утверждение о существовании множества невыводимо в этой теории, что и требовалось доказать.
В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций (теория Цермело — Френкеля ZF, теория Неймана — Бернайса — Гёделя NBG и т. д.), однако ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как показал Гёдель, разработав ряд теорем о неполноте, такого доказательства не может существовать (в некотором смысле).
Другой реакцией на открытие парадокса Рассела явился интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра.
Содержание |
Существует много популярных формулировок этого парадокса. Одна из них традиционно называется парадоксом брадобрея и звучит так:
Еще один вариант:
И ещё один:
Парадокс Рассела.