Покры́тие в математике — это семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество. Обычно понятие покрытия рассматривается в контексте общей топологии.

Определения

• Пусть дано множество . Семейство множеств называется покрытием , если

• Пусть дано топологическое пространство , где  — произвольное множество, а  — определённая на топология. Тогда семейство открытых множеств называется открытым покрытием , если

Связанные определения

• Если  — покрытие множества , то любое подмножество , также являющееся покрытием , называется подпокры́тием.
• Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие вписано в покрытие , если

такое, что

• Покрытие множества называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки существует окрестность , пересекающаяся лишь с конечным числом элементов , то есть множество конечно.
• Покрытие множества называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством открыто в , само открыто.
• называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
• называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Свойства

• Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Карта (математика)
• Размерность Лебега