Постоянная Каталана

Постоя́нная Катала́на G (англ. Catalan's constant) встречается в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Её также обозначают буквами K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакопеременного ряда

Её численное значение приблизительно равно^[1]:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (последовательность A006752 в OEIS)

Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.

Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (фр. Eugène Charles Catalan).

Связь с другими функциями

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

так что

Симон Плуффе (Simon Plouffe) нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией , и постоянной Каталана G.

Интегральные представления

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x),

Быстро сходящиеся ряды

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

	$3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left( -\frac{1}{2(8n+2)^2} +\frac{1}{2^2(8n+3)^2} -\frac{1}{2^3(8n+5)^2} +\frac{1}{2^3(8n+6)^2} -\frac{1}{2^4(8n+7)^2} +\frac{1}{2(8n+1)^2} \right)$
	$- 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}} \left( \frac{1}{2^4(8n+2)^2} +\frac{1}{2^6(8n+3)^2} -\frac{1}{2^9(8n+5)^2} -\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2} -\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2} +\frac{1}{2^3(8n+1)^2} \right)$

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы^[2] и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы^[3]. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е.А. Карацубой^[4]^[5].

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов^[6].

**Число известных значащих цифр постоянной Каталана G**
Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1865	14	Эжен Шарль Каталан
1877	20	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1913	32	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1990	20 000	Greg J. Fee
1996	50 000	Greg J. Fee
1996, 14 августа	100 000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996, 29 сентября	300 000	Thomas Papanikolaou
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	3 379 957	Patrick Demichel
1998, 4 января	12 500 000	Xavier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006, октябрь	5 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo^[7]
2008, август	10 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo^[8]
2009, 31 января	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[9]
2009, 16 апреля	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[9]

См. также

Примечания

Catalan's Constant to 1,500,000 Places (HTML). gutenberg.org. Проверено 5 февраля 2011.

↑ B.C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I, Springer Verlag (1985)

Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)", (1998) arXiv math.CA/9803067

↑ E.A. Карацуба, Быстрое вычисление трансцендентных функций. Проблемы передачи информации, т. 27, N 4, с. 87-110 (1991)

↑ E.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J.W. von Gudenberg, eds.; pp. 29-41 (2001)

Constants and Records of Computation

Shigeru Kondo's website

Constants and Records of Computation

↑ Large Computations

Ссылки

Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant

Victor Adamchik (2002). «A certain series associated with Catalan's constant». Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA) 21 (3): 1–10. 1929434.

Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan, (1993)

Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi^2, (1999)

Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions

Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996)

David M. Bradley (1999). «A class of series acceleration formulae for Catalan's constant». The Ramanujan Journal 3 (2): 159–173. 10.1023/A:1006945407723. 1703281.

David M. Bradley (2007), "A class of series acceleration formulae for Catalan's constant", 0706.0356

Числа с собственными именами

Вещественные Пи • Золотое сечение • Серебряное сечение • e (число Эйлера) • Постоянная Эйлера — Маскерони • Постоянные Фейгенбаума • Постоянная Гельфонда • Константа Бруна • Постоянная Каталана • Постоянная Апери

Натуральные Чёртова дюжина • Число зверя • Число Рамануджана — Харди • Число Грэма • Число Скьюза • Число Мозера

Степени десяти Мириада • Гугол • Асанкхейя • Гуголплекс

Степени тысячи Тысяча • Миллион • Миллиард • Биллион • Триллион • Квадриллион • … • Центиллион

Степени двенадцати Дюжина • Гросс • Масса

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации