07-09-2023
Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.
Содержание |
Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:
то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).
Если случайная величина дискретна, то есть , то
Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда
Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то
Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда
Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.
Производящая функция моментов.