Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.^[1] В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через ^{[источник не указан 17 дней]} (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — ^{[источник не указан 17 дней]} (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение .

Определение

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению,  — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .

Основные формулы для математического ожидания

• Если  — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

.

Математическое ожидание дискретного распределения

• Если  — дискретная случайная величина, имеющая распределение

,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

.

Математическое ожидание целочисленной величины

• Если  — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности

как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией свойством: при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

• Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью , равно

.

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть  — случайный вектор. Тогда по определению

,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть  — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

,

если имеет дискретное распределение;

,

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

.

В специальном случае, когда , Математическое ожидание называется -тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

• Математическое ожидание числа есть само число.

 — константа;

• Математическое ожидание линейно, то есть

,

где  — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а  — произвольные константы;

• Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверное, и  — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того

;

• Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверное, то

.

• Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

Дополнительные свойства математического ожидания

• Неравенство Маркова;
• Теорема Леви о монотонной сходимости;
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
• Тождество Вальда;
• Лемма Фату.
• Математическое ожидание случайной величины может быть выражено через её производящую функцию моментов как значение первой производной в нуле:

Примеры

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть Тогда её математическое ожидание

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда её плотность имеет вид и математическое ожидание равно

.

• Пусть случайная величина имеет стандартное распределение Коши. Тогда

,

то есть математическое ожидание не определено.

Примечания

См. также

• Дисперсия случайной величины;
• Моменты случайной величины;
• Условное математическое ожидание;
• Выборочное среднее.

Литература

• В.Феллер. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Под ред. Е. Б. Дынкина. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.