Ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда

Этот ряд может быть также переписан в виде

.

где

 — амплитуда k-го гармонического колебания,

 — круговая частота гармонического колебания,

 — начальная фаза k-го колебания,

 — k-я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида

где

Числа , и () называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для

Ряд (1) сходится к функции в пространстве . Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1):

,

то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:

.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением

.

Мы также рассматриваем систему функций

.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:

,

где ряд в правой части сходится к по норме в . Здесь

.

Коэффициенты : связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

• Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения и не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система в гильбертовом пространстве и  — произвольный элемент из . Предположим, мы хотим представить в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов :

Домножим это выражение на . С учётом ортогональности системы функций все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при :

Последовательность чисел

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента по системе , а ряд

называется рядом Фурье элемента по ортогональной системе .

Ряд Фурье любого элемента по любой ортогональной системе сходится в пространстве , но его сумма не обязательно равна . Для ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
• система является полной, то есть в не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам одновременно.
• система является замкнутой, то есть для любого выполнено равенство Парсеваля

.

• линейные комбинации элементов плотны в пространстве .

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов . В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через частичные суммы ряда Фурье функции :

.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций к функции в различных смыслах. Функция предполагается -периодической (если она задана только на промежутке , её можно периодически продолжить).

• Если , то последовательность сходится к функции в смысле . Кроме того, являются наилучшим (в смысле расстояния в ) приближением функции тригонометрическим многочленом степени не выше .
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке  — локальное свойство, то есть, если функции и совпадают в некоторой окрестности , то последовательности и либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают.
• Если функция дифференцируема в точке , то её ряд Фурье в этой точке сходится к . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к . Это следует из того, что для непрерывной в функции последовательность сходится по Чезаро к .
• Если функция разрывна в точке , но имеет пределы в этой точке справа и слева , то при некоторых дополнительных условиях сходятся к . Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если . Однако, существуют функции из , ряд Фурье которых расходится во всех точках (теорема Колмогорова).
• Зафиксируем точку . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса , а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана-Лебега (англ.)).
• Если функция принадлежит классу , то есть дифференцируема раз и её -я производная непрерывна, то
• Если ряд сходится абсолютно, то при всех .
• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем , то ряд сходится абсолютно (Теорема Бернштейна).
• Если , то функция является аналитической. Верно и обратное.

^{[источник не указан 1014 дней]}

См. также

• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Тригонометрический ряд
• Признак Жордана
• Признак Дини
• Числовой ряд
• АТС теорема

Литература

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.