Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, равномерно уменьшающее все расстояния. Согласно теореме Банаха, у сжимающего отображения полного метрического пространства в себя существует неподвижная точка, причём ровно одна. Это утверждение, также называемое «принципом сжимающих отображений», широко используется при доказательстве различных математических утверждений.

Определение

Пусть на метрическом пространстве определён оператор . Он называется сжимающим на , если существует такое число , что для любых двух точек выполняется неравенство

.

Свойства

Непрерывность

Пусть  — метрическое пространство и  — сжимающий оператор на . Тогда  — непрерывная функция на .

Доказательство

Возьмём . Надо доказать (по определению непрерывности функции), что для для . Для сжимающего оператора достаточно взять .

Неподвижная точка

По теореме Банаха у сжимающего отображения существует единственная неподвижная точка .

Применение

• Численное решение уравнений

Ссылки

• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — М.: Наука, 1976. — 544 с.