Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.
Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
для любого существует такое натуральное , что для всех .
Связанные определения
Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.
Свойства
Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.
Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.
Литература
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3, — М.:Наука, 1970.