Теорема Фробениуса показывает, что при некоторых естественных предположениях (конечномерность, см. ниже) всякое тело или поле, расширяющее поле вещественных чисел :
Эта теорема была доказана Ф. Г. Фробениусом в 1877 году.
Формулировка
Пусть — алгебраическое тело, содержащее в качестве подтела тело вещественных чисел, причём для каждого выполняются 2 условия:
- x коммутирует по умножению с вещественными числами: , ;
- x может быть записан в виде разложения по некоторому фиксированному набору элементов :
где — вещественные числа. Второе условие означает, что — (n+1)-мерное векторное пространство, и каждый его элемент x по отношению к базису имеет вещественные координаты .
Для определения умножения в . достаточно задать правило перемножения базисных величин , то есть записать каждое произведение в виде (1).
Теорема утверждает, что всякое такое тело :
Следствия
- При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (алгебра Кэли) и т. п.
- Не существует варианта кватернионов с двумя мнимыми единицами.
- Поля и являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными алгебрами без делителей нуля.
- Тело кватернионов является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без делителей нуля.
- Алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной неассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса.
См. также
Литература
- Лекции по общей алгебре. 2-е изд., М.: Наука, 1973.
- Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. М.: Наука. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 54, 1986. 120 с.