Кватернион

Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующее векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Кватернионы — минимальное расширение комплексных чисел, образующее тело, но их умножение некоммутативно. Предложена Гамильтоном в 1843 году, обычно обозначается .

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики.^[1]

Содержание

1 Определения
2 Алгебраические свойства
3 Кватернионы и повороты пространства
4 «Целые» кватернионы
- 4.1 Целые единичные кватернионы
- 4.2 Разложение на простые сомножители
5 Функции кватернионного переменного
6 Виды умножений
7 Из истории
8 Новые результаты и направления исследований
- 8.1 Кватернионы и метрика Минковского
9 См. также
10 Примечания
11 Литература

Определения

Стандартное

Кватернионы можно определить как формальную сумму где — вещественные числа, а — мнимые единицы со следующим свойством: . Таким образом, таблица умножения базисных кватернионов — — выглядит так:

·

например, , a .

Как Вектор&скаляр

Кватернион представляет собой пару где — вектор трёхмерного пространства, а — скаляр, то есть вещественное число. Операции сложения определены следующим образом:

Произведение определяется следующим образом:

где обозначает скалярное произведение, а — векторное произведение.

В частности,

Заметим, что

Алгебраические операции в кватернионах обладают свойством дистрибутивности.
Антикоммутативность векторного произведения влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Через комплексные числа

Кватернион можно представить как пару комплексных чисел. Пусть $j ^ 2 = -1,\, j \ne \pm i$ и $z, w \in \C$ . Тогда кватернион можно записать в виде $q = z + wj = a + bi + cj + dij$ .

Через матричные представления

Вещественными матрицами

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

$\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & \;\;a & -d & \;\; c \\ c & \;\;d & \;\; a & -b \\ d & -c & \;\; b & \;\; a \end{pmatrix}.$

При такой записи:

сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:

$\bar q \mapsto Q ^ T$ ;
четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:

$\left|q \right| ^ 4 = \det Q$ .

Комплексными матрицами

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

здесь и обозначают комплексно-сопряжённые числа к и .

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

комплексному числу соответствует диагональная матрица;
сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:

$\bar q \mapsto \bar Q ^ T$ ;
квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:

$\left|q \right| ^ 2 = \det Q$ .

Связанные объекты и операции

Для кватерниона

кватернион называется скалярной частью а кватернион — векторной частью. Если то кватернион называется чисто скалярным, а при — чисто векторным.

Сопряжение

Для кватерниона сопряжённым называется:

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

Для кватернионов справедливо равенство

Модуль

Так же, как и для комплексных чисел,

называется модулем . Если то называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: $\left\|z \right\| = \left |z \right |$ .

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Обращение умножения (деление)

Кватернион, обратный по умножению к , вычисляется так: .

Алгебраические свойства

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

Множество кватернионов является примером кольца с делением.

Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел. Вообще , , являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел^[2].

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение $q^2 + 1 = 0$ имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

Кватернионы и повороты пространства

Основная статья: Кватернионы и вращение пространства

Организация трёх степеней свободы, но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над , образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно может быть записан в виде , где и — пара единичных кватернионов, при этом пара определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — и . Из этого следует, что группа Ли поворотов есть факторгруппа , где обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно может быть записан в виде , где — некоторый единичный кватернион. Соответственно, , в частности, диффеоморфно .

«Целые» кватернионы

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: $\left\|z \right\| = \left |z \right | ^ 2$ .

Целыми по Гурвицу (также engl) принято называть кватернионы такие, что все — целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

чётным
нечётным
простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме , нацело (иными словами, $\gcd \left(2a, 2b, 2c, 2d \right) \le 2$ ).

Целые единичные кватернионы

Существует 24 целых единичных кватерниона:

, , , ,

Они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра (не путать с трёхмерным многогранником-кубооктаэдром).

Разложение на простые сомножители

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.^[3] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона в произведение простых целых положительных чисел существует разложение кватерниона в произведение простых кватернионов такое, что . Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

$q = \left(q_1 \epsilon_1 \right) \left(\bar\epsilon_1 q_2 \epsilon_2 \right) \left(\bar\epsilon_2 q_3 \epsilon_3 \right) ... \left(\bar\epsilon_{n-1} q_n \right)$ ,

где $\epsilon_1$ , $\epsilon_2$ , $\epsilon_3$ , … $\epsilon_{n-1}$ — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

Общее число разложений такого кватерниона равно

Функции кватернионного переменного

Вспомогательные функции

Знак кватерниона вычисляется так:

$\operatorname {sgn}\, q = \frac {q} {\left|q \right|}$ .

Аргумент кватерниона — это угол поворота четырёхмерного вектора, который отсчитывается от вещественной единицы:

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона в виде

Здесь — вещественная часть кватерниона, . При этом , поэтому проходящая через и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид для фиксированного единичного вектора . В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

Элементарные функции

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если для комплексных чисел, то , где кватернион рассматривается в «комплексном» представлении .

Степень и логарифм

$\exp q = \exp a \left( \cos \left|\mathbf{u} \right| + \sin \left| \mathbf{u} \right| \hat{\mathbf{u}} \right)$

$\ln q = \ln \left|q \right| + \arg q\, \hat{\mathbf{u}}$

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до .

Тригонометрические функции

$\sin q = \sin a \, \operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right| + \cos a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right| \hat{\mathbf{u}}$

$\cos q = \cos a \, \operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right| - \sin a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right| \hat{\mathbf{u}}$

$\operatorname {tg}\, q = \frac{\sin q}{\cos q}$

Регулярные функции

Основная статья: Кватернионный анализ

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию как имеющую предел

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки вид

где — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

и рассмотрении таких кватернионных функций , для которых^[4]

что полностью аналогично использованию операторов и в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций^[5].

Производная Гато

Основная статья: Кватернионный анализ

Производная Гато функции кватернионного переменного определена согласно формуле

Производная Гато является аддитивным отображением приращения аргумента и может быть представлена в виде^[6]

$\partial f(x)(dx)= \frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x} dx \frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}$

Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения и называются компонентами производной.

Виды умножений

Умножение Грассмана

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ().

Евклидово умножение

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: . Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов:

$p \cdot q = \frac{\bar p q + \bar q p}{2}$ .

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, $\left(a + bi + cj + dk\right) \cdot i = b$ .

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

Внешнее произведение

$\operatorname {Outer}\left(p, q\right) = \frac {\bar p q - \bar q p} {2}$ .

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

$p \times q = \frac{pq - qp}{2}$ .

Из истории

Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»^[7]

Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819—1820 годам.^[8]

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.^[9] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).

Новые результаты и направления исследований

Кватернионы и метрика Минковского

Как алгебра над , кватернионы образуют вещественное векторное пространство , снабжённое тензором третьего ранга типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, отображает каждую 1-форму на и пару векторов из в вещественное число . Для любой фиксированной 1-формы превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы , а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского^[10]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику^[11] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации^[12].

См. также

Кватернионы

Примечания

Кватернионы в программировании игр (GameDev.ru)

↑ Теорема Фробениуса

On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 7 февраля 2009.

↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.

↑ A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.

↑ Выражение не является дробью и должно восприниматься как символ оператора. Данное обозначение предложено для того, чтобы сохранить преемственность с классическим анализом.

↑ В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (Л. С. Полак Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)

↑ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 68.

Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.

↑ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.

↑ Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

↑ Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

Литература

И. Л. Кантор, А. С. Солодовников Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 144 с.

Мищенко А., Соловьев Ю. Кватернионы, — Квант, N9, 1983.

Martin John Baker EuclideanSpace.com — применение кватернионов в 3D графике.

Кватернионы. Кватеры.

Числовые системы

Счётные
множества Натуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические

Вещественные числа
и их расширения Вещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.)

Другие
числовые системы Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа

См. также Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации