18-10-2023
Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за (уравнение КдФ, также встречается написание де Вриза и де Фриса, англ. Korteweg–de Vries equation) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году[1], но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом в 1895 году[2].
Уравнение имеет вид:
Содержание |
Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе, данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:
где — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.
Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:
где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.
Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.
Уравнение Кортевега — де Фриза имеет бесконечное множество интегралов движения вида
где — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, в частности:
Можно показать, что уравнение КдФ является интегрируемой гамильтоновой системой.
При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза, имеющее вид
где параметр характеризует величину диссипации.
В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:
Уравнение Кортевега — де Фриза.