05-06-2023
Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
где — произвольное вещественное число, называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.
Хотя и порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ).
Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
Содержание |
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Поскольку приведённое уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):
Здесь — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.
Ниже приведены графики для :
Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:
Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).
Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений , используя интегральное представление:
Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:
Функции Неймана — решения уравнения Бесселя, бесконечные в точке .
Эта функция связана с следующим соотношением:
где в случае целого берётся предел по , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.
Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:
Ниже приведён график для :
Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах и неотрицательных они выглядят так:[1]
где — постоянная Эйлера — Маскерони (0.5772…), а — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов () формулы выглядят так:
Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:
Таким образом, при целых функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.
Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно
Получается выражения для производящей при , :[2]
При , :[2]
Для любого целого n и комплексных , выполняется[3]
Для любых и (в том числе комплексных) выполняется[3]
Частным случаем последней формулы является выражение
Функции Бесселя.