18-10-2023
Гипергеометрическая функция (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда
а при — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого гипергеометрическим уравнением.
Содержание |
Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид[1]
Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом.[2] В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.
Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера
(ДифУрЭйл) |
где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и .
Когда параметр не равен нулю и отрицательным целым числам регулярное в нуле решение уравнения Эйлера (ДифУрЭйл) будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:
Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение
где — гамма-функция. Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде
Нижние индексы в записи применяются в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть отличие от других типов обобщённых гипергеометрических рядов. На границе ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы , условно сходится при , и расходится, если . Второе линейно независимое решение уравнения (ДифУрЭйл) имеет вид
Оно имеет особую точку при и справедливо при всех неположительных .[3]
Интегральное представление гипергеометрической функции при может быть записано следующим образом:
где — гамма-функция Эйлера.
Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Гипергеометрическая функция.