Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Определение

Пусть - выборка из распределения случайной величины , задаваемого функцией распределения . Будем считать, что , где , - независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов . Пусть . Определим случайную величину следующим образом:

,

где - индикатор события , - функция Хевисайда. Таким образом, выборочная функция распределения в точке равна относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение . Случайная величина называется выборочной функцией распределения случайной величины и является аппроксимацией для функции . Существует результат, показывающий, что при функция равномерно сходится к , и указывающий скорость сходимости.

Основные свойства

• Пусть зафиксирован элементарный исход . Тогда является функцией распределения дискретного распределения, задаваемого следующей функцией вероятности:

,

где , а - количество элементов выборки, равных . В частности, если все элементы выборки различны, то .

• Математическое ожидание этого распределения имеет вид:

.

Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.

• Аналогично, выборочная дисперсия - это теоретическая дисперсия выборочного распределения.

• Случайная величина имеет биномиальное распределение:

.

• Выборочная функция распределения является несмещённой оценкой функции распределения :

.

• Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:

.

• Согласно усиленному закону больших чисел, выборочная функция распределения сходится почти наверное к теоретической функции распределения:

почти наверное при .

• Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой теоретической функции распределения. Если , то

по распределению при .

См.также

• Гистограмма (статистика);
• Теорема Гливенко — Кантелли;
• Теорема Колмогорова.