Случай известного среднего

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ — независимая выборка из нормального распределения, где ${\displaystyle \mu }$ — известное среднее. Определим произвольное ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ и построим ${\displaystyle \alpha }$ — доверительный интервал для неизвестной дисперсии ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Утверждение. Случайная величина

${\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

имеет распределение ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$. Пусть ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ — ${\displaystyle \alpha }$-квантиль этого распределения. Тогда имеем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}\right)=1-\alpha }$.

После подстановки выражения для ${\displaystyle H}$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}}}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}}}\right)=1-\alpha }$.

Случай неизвестного среднего

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ — независимая выборка из нормального распределения, где ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина

${\displaystyle H={\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}}$,

где ${\displaystyle S^{2}}$ — несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение ${\displaystyle \chi ^{2}(n-1)}$. Тогда имеем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\chi _{{\frac {\alpha }{2}},n-1}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}^{2}\right)=1-\alpha }$.

После подстановки выражения для ${\displaystyle H}$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}^{2}}}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},n-1}^{2}}}\right)=1-\alpha }$.

Ссылки

• http://www.graphpad.com/guides/prism/6/statistics/index.htm?stat_confidence_interval_of_a_stand.htm (англ.)