Распределение (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Определение

Пусть — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: . Тогда случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы, обозначаемое .

Замечание. Распределение хи-квадрат является частным случаем Гамма распределения:

.

Следовательно, плотность распределения хи-квадрат имеет вид

,

а его функция распределения

,

где и обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадрат

• Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если независимы, и , а , то

.

• Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если , то

,

.

• В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины может быть приближено нормальным . Более точно

по распределению при .

Связь с другими распределениями

• Если независимые нормальные случайные величины, то есть: известно, то случайная величина

имеет распределение .

• Если , то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:

.

• Если и , то случайная величина

имеет распределение Фишера со степенями свободы .

Процентили

История

Критерий χ² был предложен Карлом Пирсоном (Pearson) в 1900 году.^[1] Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 10²⁹!

Общее обсуждение критерия χ² и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена.^[2]

См. также

• Критерий согласия Пирсона (критерий χ²)

Примечания